Не заводится  

А что значит фары, как аварийка? И... приборная панель вообще ничего не показывает, при включении зажигания?

Вообще, первым делом, если аккумулятор живой, надо подключить фирменный сканер, и сделать диагностику, а потом уже "отплясывать" уже от найденных ошибок. Могу предположить, что появились какие то проблемы с электрикой и где то закоротило.

А "специалисты" просто так предложили поменять аккум или чем-то обосновали ? Элементарно замерами заряда старого АКБ... А то на развод похоже. И правильно Рома выше сказал, сперва диагностика полная делается. Дешевле выйдет, чем тупо менять все по советам "спецов".

P.S.: Ольга, вообще не советую соваться на сервисы одной, без мужа/друга/товарища, которые хоть как-то знают устройство авто и смогут предотвратить развод сервисменов. Если нет мужа, попросите даже просто знакомого помочь "за пиво", съездить в сервис или самому сначала глянуть, что с машиной. = )

А симптомы то какие? Стартер Крутит? приборка горит?

Если причина была в аккумуляторе, он должен был меняться с вставленным ключом зажигания в замок передней водительской двери (у жены тоже 308, но 2012 года, не знаю, какого года у Вас).
Определить, была ли причина в аккумуляторе просто - при попытке запуска слышны два щелчка, без попытки прокрутки стартера. Бортовой компьютер должен был скинуть все настройки на заводские, включая дату и время. Если есть магнитола - все настройки тоже сбрасываются на заводские.
Если была причина в аккумуляторе и не заводится - уточните, очистили Вам клеммы или нет. Если все-таки не заводится - попросите прикурить знакомых (лучше от машины без "мозгов".
Бортовой компьютер будет выдавать сначала кучу ошибок, но, если удастся завести, необходимо проехать 10-20 минут, бортовой должен скинуть все сам.
Если не скинул, попробуйте удалить через ELM327+Torque или заплатите за сброс ошибок в любом сервисе, где есть диагностика.
P.S. Уточните емкость аккумулятора, который Вам поставили - для 308 не должно быть ниже 60 мА/ч.
Все сказанное - из собственного опыта.