Неисправен блок обхода иммобилайзера. Батарейка нужна только для открытия двери, иммобилайзера будет работать и без батарейки.
А вообще вот алгоритм для угонщика:
ходишь такой зимой рано утром по дворам и смотришь какие машины сами заводятся. Далее гуляешь с бутылкой минералки, в кармане GSM-глушилка (на алиекспресс 10 баксов), глушилку включил, мощной отверткой дверь открыл, открываешь капот, заливаешь водой из бутылки квакалку, отрываешь антенну сигналки от стекла с корнем, отключаешь глушилку, под торпедой забираешь ключ, и вуаль, отгоняешь на разборку, хозяин машины не проснется!